Sensitivitätsanalyse

Sensitivitätsanalyse im Risikomanagement

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Zur Bewertung von Finanzinstrumenten kann eine Sensitivitätsanalyse herangezogen werden. Die Wertänderung kann bestimmt werden, indem sich der Faktor um eine sehr kleine Einheit ändert. Daraus ergibt sich, dass die Wertänderung der Sensitivität mal der Faktoränderung entspricht. Die Sensitivität ist somit die erste Ableitung der Wertfunktion nach dem veränderten Faktor an einem bestimmten Punkt.

Optionsbewertung

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Optionen können mittels Black und Scholes Bewertungsansatzbewertet werden. Dabei muss auf europäische Optionen zurückgegriffen werden. Der Preisprozess des Underlyings entspricht einem geometrischer brownscher Prozess. Der Optionswert bei gegebenen Strike Price ist dabei abhängig vom aktuellen Kurs des Underlyings, der Volatilität, der Restlaufzeit sowie dem risikolosen Zinssatz. Die Griechen sind die partiellen Ableitungen nach den wertbestimmenden Faktoren.

  • Delta: Partielle erste Ableitung des Optionswertes nach dem aktuellen Preis. Daraus ergibt sich auch die risikomäßige Äquivalenz: 1 Einheit der Option und Delta Einheiten des Underlyings ergeben dabei das Hedge Ratio. Allerdings handelt es sich dabei lediglich um eine Delta Approximation, da ein nicht-linearer Zusammenhang herrscht. Die Steigung gilt nur an einem gewissen Punkt, wodurch der geschätzte Optionswert immer unter dem tatsächlichen liegt. Die Ursache ist der konvexe Funktionsverlauf des Optionswertes. Der Heding error ist umso größer, je größer die Preisänderung ist und je höher der Grad an Konvexität ist. Durch die Konvexität kann dies berücksichtig werden.
  • Gamma: Partielle zweite Ableitung nach dem aktuellen Preis. Dies ist ein Maß für die Krümmung der Verlaufslinie.
  • Vega: Partielle erste Ableitung nach der Volatilität. Im Black/Scholes Ansatz wird die Volatilität als konstant angenommen.
  • Theta: Negative partielle erste Ableitung nach der Restlaufzeit.
  • Rho: Partielle erste Ableitung nach dem risikolosen Zinssatz.

Sensitivität von Zinsinstrumenten

Der Wert des Zinsinstruments bezogen auf heute entspricht der Summe der Barwerte der einzelnen Zahlungsströme. Dabei wird von einer flachen Zinskurve ausgegangen. Interessant ist die erste partielle Ableitung des Wertes nach dem Zinssatz.

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Die Modified Duration ist die Duration dividiert durch 1 plus den risikolosen Zinssatz. Die Duration einer Anleihe ist dabei abhängig vom Marktzinssatz und der Restlaufzeit. Die Wertänderungen sind allerdings nicht-linear von Zinsänderungen abhängig und durch die (Modified) Duration entstehen Approximationsfehler. Der berechnete approximierte Anleihenwert liegt somit immer unter dem tatsächlichen. Der Fehler ist umso größer, je größer die Zinsänderung und je höher der Grad an Konvexität ist. Durch die Konvexität (zweite partielle Ableitung nach dem Zinssatz) kann dies berücksichtigt werden.

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